Luku 1.1 (GLM 9. ja 10.)

Funktsiooni piirväärtus

  • Jada piirväärtus
  • Piirväärtuse mõiste
  • Piirväärtuse täpsem definitsioon
  • Lõpmatu piirväärtus
  • Piirväärtust ei eksisteeri

Jada piirväärtus

Meenuta

Kui jada {an} liikmed an erinevad n-i kasvades üha vähem ja vähem konkreetsest väärtusest a, siis öeldakse, et arv a on jada {an} piirväärtus, kui n läheneb lõpmatusele.

limnan=a

  • Jada piirväärtus saab olla lõplik või lõpmatu.
  • Jadal võib piirväärtus puududa.
  1. limn-5n= 
  2. limn2n2= 
  3. limnn33n-3= 
  4. limn10nn+5= 
  5. limnn+5n= 

Piirväärtuse mõiste

Funktsiooni piirväärtus

Arv a on funktsiooni f (x) piirväärtus argumendi x lähenemisel x0-le, kui funktsiooni väärtuse erinevus arvust a on kui tahes väike, eeldusel, et argument x on piisavalt lähedal kohale x0.

Märka

Kui argument x läheneb x0-le ja funktsiooni f (x) väärtuste erinevus arvust a läheneb nullile, siis a on funktsiooni f (x) piirväärtus.

limxx0fx=a

Näide 1

Põhjendame arvutustega, et limx20,5x2-1=1.

Lahendus

  1. Läheneme kohale x0 = 2. Selleks moodustame kaks arvjada, mille piirväärtus on 2.
    1. an = 2 – 0,5n, n ∈ ℕ
    2. bn = 2 + 0,5n, n ∈ ℕ
  2. Uuri joonist 1, kus funktsiooni f (x) graafikul liiguvad kaks punkti, mille 
    1. abstsissid on jadade liikmed an ja bn,
    2. ordinaadid on funktsiooni väärtused f (an) ja f (bn).
  3. Näeme, et mida vähem jada liige an või bn erineb kahest, seda vähem erineb funktsiooni vastav väärtus f (an) või f (bn) arvust a = 1. Seega võib eeldada, et eksisteerib piirväärtus

limx20,5x2-1=1.

Joonis 1

Piirväärtuse täpsem definitsioon

Definitsioon

Arv a on funktsiooni f (x) piirväärtus argumendi x lähenemisel x0-le, kui mis tahes väikese positiivse arvu ε > 0 jaoks leidub selline δ (ε) > 0 (mis sõltub ε-st), et

|xx0| < δ(ε) ⇒|f (x) – a| < ε, 

kusjuures xx0.

Märka

  • |f (x) – a| on funktsiooni väärtuse erinevus piirväärtusest a.
  • |x – x0| on argumendi x erinevus kohast x0.
  • Tingimus ≠ x0 on vajalik seetõttu, et funktsioon yf (x) ei pruugi olla määratud kohal x0 või x0, mis on katkevuskoht.

Näide 2

Näitame definitsiooni põhjal, et limx22x-3=1.

Lahendus

  • Mis tahes ε > 0 korral peab leiduma δ (ε) > 0, et

|x2| < δ (ε) ⇒|2x – 31| < ε.

  • Lahendame võrratuse |2x – 4| < ε.

|2(x – 2)| < ε

x-2<ε2

Järelikult saame võtta δε<ε2 või mingi väärtuse, mis on sellest väiksem, näiteks ε3.

Joonis 2

Üldisem selgitus

  • Jooniselt 3 on näha, et võrratus |f (x) – a| < ε on täidetud, kui argument x asub vahemikus

X1 = (x0 – δ1x0 + δ2).

  • Definitsiooni kohaselt peab leiduma selline δ (ε), et

|x – x0| < δ(ε)
​ehk
x0 – δ (ε) < x < x0 +δ (ε).

  • See vahemik peab seega asuma vahemiku X1 sees. Järelikult on suurimaks võimalikuks δ (ε) väärtuseks 

δ = min{δ1 ; δ2}.

Joonis 3

Lõpmatu piirväärtus

Lähenemine lõpmatusele

Arv a on funktsiooni f (x) piirväärtus argumendi x lähenemisel pluss lõpmatusele, kui funktsiooni väärtus erineb arvust a kui tahes vähe, eeldusel, et argument x on piisavalt suur.

limxfx=a

Arv a on funktsiooni f (x) piirväärtus argumendi x lähenemisel miinus lõpmatusele, kui funktsiooni väärtus erineb arvust a kui tahes vähe, eeldusel, et argument x on piisavalt väike (negatiivne).

limx-fx=a

Märka

Nii nagu jada korral, võib ka funktsiooni piirväärtus olla lõplik, lõpmatu või üldse mitte eksisteerida.

Lõpmatu piirväärtus

Piirväärtus pluss lõpmatus

Funktsiooni f (x) piirväärtus on pluss lõpmatus argumendi lähenemisel x0-le, kui funktsiooni väärtus on kui tahes suur, eeldusel, et x on piisavalt lähedal x0-le.

limxx0fx=+

Piirväärtus miinus lõpmatus

Funktsiooni f (x) piirväärtus on miinus lõpmatus argumendi lähenemisel x0-le, kui funktsiooni väärtus on kui tahes väike (negatiivne), eeldusel, et x on piisavalt lähedal x0-le.

limxx0fx=-

Märka katkevuskohta

Kui funktsiooni väärtus kasvab (või kahaneb) tõkestamatult argumendi x lähenemisel x0-le, siis x0 on funktsiooni katkevuskoht.

Näide 3

Näitame, et limx11x-12=+.

  1. Peame näitama, et funktsiooni y=1x-12 väärtus on suurem kui tahes suurest arvust A > 0, kui x on piisavalt lähedal kohale 1. 
  2. Lahendame võrratuse 1x-12>A>0.

x-12<1Ax-1<1A, sest

x-12=x-1.

  1. Näeme, et kui x on kohale 1 lähemal kui δ=1A, on funktsiooni väärtus suurem mis tahes arvust A > 0.
  2. Järelikult eksisteerib lõpmatu piirväärtus

 limx11x-12=+.

Joonis 4

Piirväärtust ei eksisteeri

Näide 4

Näitame, et limx01x ei eksisteeri.

  1. Kui x läheneb nullile, siis murd 1x läheneb lõpmatusele.
    1. Kui x on negatiivne, siis ka 1x<0 ja saab läheneda vaid miinus lõpmatusele.
    2. Kui x on positiivne, siis 1x>0 ja saab läheneda pluss lõpmatusele.
  1. Kui läheneme nullile negatiivsete väärtuste poolt, saame tulemuseks miinus lõpmatuse, ja kui läheneme positiivsete väärtuste poolt, saame pluss lõpmatuse. Et märk lõpmatuse ees on erinev, siis piirväärtus

 limx01x puudub.

Koht x2 = 0 on funktsiooni katkevuskoht.

Joonis 5

Märka

Piirväärtust ei eksisteeri trigonomeetriliste funktsioonide argumendi lähenemisel pluss lõpmatusele või miinus lõpmatusele.


Näide 5

Funktsiooni y = sin x väärtused muutuvad argumendi kasvades miinus ühe ja pluss ühe vahel perioodiliselt. 

Seejuures pole võimalik näidata ühtegi väärtust a ( –1 ≤ a ≤ 1), millest kõik sin x väärtused erineksid näiteks vähem kui ε = 0,1 kõigi argumentide xA korral, ükskõik kuidas me ka väärtust A ei valiks.

Sarnaselt arutledes saame näidata, et ei eksisteeri järgmised piirväärtused:

  •  limx±cosx 
  • limx±tanx 
  •  limx±cotx

Harjuta ja treeni

Piirväärtus graafiku põhjal

  1. limx35-2x= 
  2. limx05-2x= 
  3. limx5-2x= 
  1. limx3x2-3x+2= 
  2. limx0x2-3x+2= 
  3. limxx2-3x+2= 
  1. limx15x-3x3= 
  2. limx05x-3x3= 
  3. limx-5x-3x3= 
  1. limx03x-3= 
  2. limx33x-3= 
  3. limx3x-3= 
Odota