Luku 1.1 (GLM 6.)

Kindel, juhuslik, võimatu

  • Juhuslik sündmus, elementaarsündmus
  • Klassikaline tõenäosus
  • Tõenäosuse esitamine

Mõisted

Aritmeetikas on alati kindel, et 2 + 2 = 4. Kui me viskame münti, siis ei tea me ette, kumb külg jääb peale, kas „kull“ või „kiri“, seega juhuslikult võib peale jääda „kull“ ja juhuslikult võib peale jääda „kiri“.

Visates täringut ei saa me öelda, mitu silma täringul tuleb. Vibuga märklaua pihta lastes ei tea me, missugust märklaua punkti nool täpselt tabab. Sedalaadi sündmused on juhuslikud sündmused.

Sündmusi, mis antud hetkel võivad toimuda või mitte, nimetatakse juhuslikeks sündmusteks.

Näiteks

  • Õpetaja pöördub küsimusega minu poole.
  • Muldapandud seeme idaneb.
  • Mängukaardi pakist tuleb valimata võttes soovitud kaart.


Sündmusi, mis toimuvad igal juhul, nimetatakse kindlateks sündmusteks.

Näiteks

  • Päike tõuseb homme.
  • Elus inimene hingab.
  • 2 ⋅ 3 = 6.
  • Veeretades kuuetahulist täringut, jääb üks tahk peale.

Sündmusi, mis ei saa toimuda mitte ühelgi tingimusel, nimetatakse võimatuteks sündmusteks.

Näiteks

  • Pannud mulda kartuli, kasvab sellest apelsinipuu.
  • Kükitades jäävad põlveliigesed  liikumatuks.
  • Lastes kivil käest kukkuda, jääb see heljuma.

Juhusliku sündmuse toimumise võimalikkust iseloomustatakse selle tõenäosusega. Kui me teeme mõne katse, näiteks  viskame mündiga „kulli ja kirja“, siis ei pruugi ilmneda mingit seaduspära. Kui katsete arv on suur, märkame, et katse tulemused hakkavad jaotuma võrdselt, pooled „kullid“, pooled „kirjad“ ning me ütleme, et tõenäosusega  12 tuleb esile „kull“ ja tõenäosusega  12 tuleb esile „kiri“.

Tõenäosuse esitamine

Juhuslikke sündmusi tähistatakse tähtedega ABC jne. Juhusliku sündmuse toimumise võimalikkust iseloomustatakse selle tõenäosusega. Tõenäosust tähistatakse tähega P ja mingi sündmuse tõenäosust sümboliga P (A). Tõenäosuse tähistus P tuleneb prantsuskeelsest sõnast probabilité – tõenäosus.

Juhusliku sündmuse A tõenäosus on arv 0 ja 1 vahel: 

0P(A)1

mis iseloomustab selle sündmuse toimumise võimalikkust.

See, et tõenäosuse väärtus asub 0 ja 1 vahel, tuleneb sündmuse tõenäosuse seosest selle sündmuse suhtelise sagedusega katsete seerias. 

Oletame, et tehakse järjest sõltumatuid katseid ning iga kord võib meid huvitav sündmus toimuda või mitte toimuda. Kui tehakse n katset ja sündmus toimub k katsel, siis sündmuse suhteline sagedus on  kn. On täiesti selge, et  0kn1. Katsete arvu n suurenemisel hakkab suhteline sagedus lähenema kindlale arvule, mis ongi selle sündmuse tõenäosus. Kuna reaalselt on võimalik teha vaid lõplik arv katseid, siis suhtelise sageduse  kn väärtust suure katsete arvu n korral nimetatakse ka statistiliseks tõenäosuseks.

Tüüpilised mõtlemisobjektid tõenäosus­ülesannetes

Mündi pooled, kiri (avers) ja kull (revers)
52 kaardist koosnev kaardipakk
Täringud: dodekaeeder T12, püramiid T4, ikosaeeder T20, oktaeeder T8,  dekaeeder T10, kuup T6. Tn tahkude arv täringul
Värvilised kuulid karbis, kotis või urnis
  1. Sündmus A – mündi viskamisel tuleb „kull“ 
     
  2. Sündmus B – pliiatsi võtmine karbist, kus on võrdselt  teritamata ja teritatud pliiatseid 
  3. Sündmus C – täringuks on kuup, veeretamisel tuleb 2 silma  
  4. Sündmus D – täringuks on dodekaeeder, veeretamisel tuleb 2 silma  
  5. Sündmus E –  kaardipakis on 36 kaardist
    veerand sinised, võetakse mittesinine kaart 

Elementaarsündmus

Konkreetne sündmus on seotud nähtuse või protsessiga, millel on lõplik või lõpmatu arv üksteist välistavaid võimalikke lõpptulemusi, mida nimetatakse elementaar­sündmusteks. Klassikalise tõenäosuse puhul vaadeldakse nähtusi, millel on lõplik arv n võrdvõimalikke elementaar­sündmusi. Arvu n nimetatakse kõigi võimaluste arvuks. Nende elementaar­sündmuste arvu k, mille korral sündmus toimub, nimetatakse soodsate võimaluste arvuks.

Märka

Kaks sündmust on teineteist välistavad, kui need ei saa toimuda ühel ajal, ja mittevälistavad, kui need võivad toimuda koos.

Näide 1

  1. Mündi viskamisel on meil kaks teineteist välistavat elementaar­sündmust. Need on „kull“ või „kiri“ sõltuvalt sellest, missugusele küljele münt langeb.
  2. Täringuviskel on juba kuus elementaar­sündmust. Need on vastava arvu silmade, ühest kuni kuueni, ilmumine täringu ülemisele tahule. Täringuviskel toimub alati vaid üks kuuest elementaar­sündmusest ja ülejäänud viis on välistatud.

Sündmuse A klassikaline tõenäosus on

P(A)=kn,

kus n on kõigi võimaluste arv ja k on soodsate võimaluste arv.

Näide 2

Kuubikujulise täringu viskamisel on kuus elementaar­sündmust. Nendeks on pärast viset ülemisele tahule ilmunud silmade arv. Seega kõigi võimaluste arv on n = 6.

  1. Sündmus A – „tulgu vähemalt 5 silma“ tähendab, et sobivad 5 ja 6 silma, seega soodsaid sündmusi on kaks. 

Mittesoodsaid sündmusi on neli, sest ei sobi 1, 2, 3 ja 4 silma.

P(A)=26=13

Vastus. Vähemalt 5 silma tuleb kuubikujulise täringu veeretamisel tõenäosusega  13.

  1. Sündmus B – „tulgu mitte rohkem kui 4 silma“ tähendab, et sobivad 1, 2, 3 ja 4 silma, seega soodsaid sündmusi on neli. 

P(B)=46=23

Vastus. Mitte rohkem kui 4 silma tuleb kuubikujulise täringu veeretamisel tõenäosusega  23.

  1. Sündmus C – „veeretamisel ei tohi tulla 2-ga ja 3-ga jaguv silmade arv. Seega ei sobi 2, 3, 4 ja 6. Need on mittesoodsad sündmused ja neid on 4. Seega soodsaid on 6 – 4 = 2 ehk silmade arv 1 ja 5.  

P(C)=26=13

Vastus. 2-ga ja 3-ga jaguv silmade arv ei tule tõenäosusega  13.

Märka

Kui ühe sündmuse tõenäosus sõltub sellest, kas teine sündmus toimub või ei toimu, siis need sündmused on sõltuvad. Kui aga sündmuse tõenäosus jääb samaks vaatamata sellele, kas teine sündmus toimub või mitte, siis on need sündmused sõltumatud.

Mõtle

Kahe täringu viskamisel on silmade arv ühel täringul sõltumatu sellest, missugune on silmade arv teisel täringul. Seega, igale silmade arvule esimesel täringul võib kaasneda mis tahes kuuest silmade arvust teisel. Järelikult on meil n = 6 ⋅ 6 = 36 elementaar­sündmust kahe täringu jaoks.

Esita vastus taandumatu murruna (va esimene slaid).

Kahe kuubikujulise täringu veeretamisel esile tulevad  kõikvõimalikud silmade summad
  • P (A) =   (loendatud kujul, taandamata murruna)
  • P (A) ≈  (kümnendmurru kujul tuhandiku täpsusega)
Kahe kuubikujulise täringu veeretamisel esile tulevad  kõikvõimalikud silmade summad
  1. P (A) =  ,  et saadakse vähemalt ühel täringul rohkem kui  4 silma.
  2. P (B) =  ,  et saadakse mõlemal täringul rohkem kui 4 silma.
Kahe kuubikujulise täringu veeretamisel esile tulevad  kõikvõimalikud silmade summad

P (A) = 

Kahe kuubikujulise täringu veeretamisel esile tulevad  kõikvõimalikud silmade summad
  1. P(A)= , et vähemalt ühel täringul on paaritu arv silmi.
  2. P(B)= ,  et summa on paaritu arv silmi.
Kahe täringu viskamine. Proovi ise

P (A) =  , et veeretades kahte täringut on silmade summa väiksem kui 7.

P (A) =  ,  et saadakse vähemalt ühel täringul on vähem kui  3 silma.

P (A) =  , et ühe täringu silmade arv on kolme võrra väiksem teise täringu silmade arvust.

P(A)= , et täringute silmade arvu korrutis on 5-ga jaguv arv.

Harjuta ja treeni

Milline on tõenäosus, et see pall on

  1. sinine, P (A) = ,
  2. kollane, P (B) = ,
  3. punane, P (C) = ,
  4. sinine või kollane,  P (D) = .
  1. poti, 
    P (A) =  %
  2. punast värvi mastist,
    P (B) =  %
  3. pildikaart,
    P (C) ≈ %, ilma ässata
  4. kordarvulise numbriga kaart,
    P (D) ≈ %
  5. soldat,
    P (E) ≈ %
  6. risti äss
    P (F) ≈ %

Õpetaja võtab ühe töö. Milline on tõenäosus tuhandiku täpsusega, et

  1. töö on sooritatud,
    P (B) ≈ ,
  2. tuleb teha kordustöö,
    P (C) ≈ ,
  3. töö hinne on suurem kontrolltöö keskmisest hindest ?
    P (D) ≈ 
Odota