Algfunktsioon ja tuletisfunktsioon

Tuletise leidmine
Algfunktsiooni mõiste
Tuletise põhjal algfunktsiooni leidmine
Funktsiooni avaldise taastamine
Vabaliige ja selle mõju funktsioonile

Pöördoperatsioonid

Asume uurima diferentseerimise pöördoperatsiooni, mida nimetatakse integreerimiseks.

Tuletise avaldisele saab seada vastavusse funktsiooni, mille tuletiseks see on. Selle operatsiooni tulemusena seatakse antud funktsioonile vastavusse selle algfunktsioon.

Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks on funktsioon F(x), mille tuletiseks on antud funktsioon, st

F′(x) = f(x), x ∈ X,

kus X on funktsiooni f(x) määramispiirkond.

(x³ )′= 3x². Järelikult, 3x² algfunktsioon on x³.

Kuid ka (x³ + 1)′ = 3x², (x³ – 5)′ = 3x² jne.

See näitab, et algfunktsioon pole üheselt määratud. Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, siis ka (F(x) + C) on algfunktsioon, sest konstandi C tuletis on null:

(F(x) + C)′ = F′(x) + 0 = f(x).

Järelikult on antud funktsioonil lõpmatult palju algfunktsioone, mis erinevad vaid konstandi poolest.

Mõtle

Määra graafikul F(x) ja f(x). Põhjenda otsust avaldistega.

F(x)′
f(x)
4x
4

y = 4x ja y = 4

sest ()′ =

F(x)
f(x)
x²
2x

y = x² ja y = 2x

sest ()′ =

F(x)
f(x)
3x³+ 2
9x²

y = 3x³+2 ja y = 9x²

sest ()′ =

F(x)′
f(x)
$\frac{2}{x}$
$- \frac{2}{x^{2}}$

y = 2/x ja y = –2/x²

sest ()′ =

F(x)
f(x)
2 sin x – 1
2 cosx

y = 2 sin x – 1 ja y = 2 cos x

sest ()′ =

F(x)
f(x)
e^x + e
e^x

y = e^x+ e ja y = e^x

sest ()′ =

Leiame funktsiooni f(x) = 2 – 2x kõik algfunktsioonid ning nende seast selle algfunktsiooni, mille graafik läbib punkti P(2; 3).

Kuna x′ = ja (x² )′ = ,
siis f(x) = 2 – 2x on
F(x) = 2x – x².

Tõepoolest,

F′(x) = (2x – x² )′ =
= 2x′ – (x² )′ =
= 2 – 2x = f(x).

Seega, omavad kuju

F(x) + C = 2x – x² + C.

Leiame C nii, et algfunktsiooni graafik läbiks punkti P(2; 3).
Seega F(x) = ning x = .

3 = 2 · 2 – 2² + C ⇔ C = .

Vastus

Algfunktsiooniks on y = 2x – x² + C. Punkti P(2; 3) läbib algfunktsiooni y = 2x – x² + 3 graafik.

Uuri graafikuid järgmisel slaidil.

F(x) + C = 2x – x² + C

More like this

Harjuta ja treeni

$6 x + 2$
$5 x^{4} + 4$
$20 x^{3}$
$\frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}}$
$\frac{4}{x^{3}} - \frac{9}{x^{4}}$

F₁(x) = $3 x^{2} + 2 x + 4$	f₁(x) =
F₂(x) =	f₂(x) = $6$
F₃(x) = $x^{5} + 4 x - 2$	f₃(x) =
F₄(x) =	f₄(x) =
F₅(x) =	f₅(x) = $\frac{3}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}$
F₆(x) = $\frac{3}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}$	f₆(x) =

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + C$
$F (x) = 2 x + C$
$F (x) = \sin x + C$
$F (x) = 2 x^{2} - 2 x + C$
$F (x) = x^{2} + C$
$F (x) = \ln |x| + C$
$F (x) = \cos x + C$
$F (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + C$
$F (x) = - x^{3} + x + C$

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + C$
$F (x) = 2 x + C$
$F (x) = \sin x + C$
$F (x) = 2 x^{2} - 2 x + C$
$F (x) = x^{2} + C$
$F (x) = \ln |x| + C$
$F (x) = \cos x + C$
$F (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + C$
$F (x) = - x^{3} + x + C$

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + C$
$F (x) = 2 x + C$
$F (x) = \sin x + C$
$F (x) = 2 x^{2} - 2 x + C$
$F (x) = x^{2} + C$
$F (x) = \ln |x| + C$
$F (x) = \cos x + C$
$F (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + C$
$F (x) = - x^{3} + x + C$

f(x) kõik algfunktsioonid on

–2x – x²
–2 + C
–2x – 2
–2x –x² + C
–2x – x² + 1
–2x –2x² + C

Mõned funktsiooni f(x) algfunktsioonid

Otsitav algfunktsioon on

$-2 + 3$
$-2 - 2 x - 5$
$-2 x - x^{2}$
$-2 x - x^{2} - 5$
$-2 x - x^{2} + 3$
$- \frac{x^{2}}{3} - x^{2} + 3$

Algfunktsioon läbib ka
1. punkti (1; )
2. punkti (; –5) või (; –5)

$f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Algfunktsioon sisaldab liidetavaid

–2
3
$- \frac{1}{x}$
$\frac{1}{x}$
$- \frac{1}{2 x}$
$\frac{1}{2 x}$
$x^{2}$
$- x^{2}$
$- \frac{1}{x^{2}}$
$\frac{1}{x^{2}}$

Vastus. Otsitav algfunktsioon läbib punkte ja D.

Abiks õpetamisel

F = y = \frac{1}{x} + x^{2} - 2,

läbib punkte B ja D.
Lahendusideed.
a) Kui õpilane on vabaliikme leidnud, saab ta kontrollida, kas punkt asetseb joonel, lugedes argumendi x graafikult.
b) Saab kasutada mõnda tarkvara, konstrueerida selle alusel taastatud algfunktsioon ja graafikuid võrrelda.

$y = f (x) = \cos x - \sin x,$ $F (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Abiks õpetajale

F(x) = sin x + cos x, roheline graafik
Lahendusideed
a) Kui õpilane on vabaliikme leidnud, saab ta kontrollida, kas punkt asetseb joonel, kui võtta argumendi x väärtuseks näiteks 0 või 0,5π.
b) Saab kasutada mõnda tarkvara, konstrueerida selle alusel taastatud algfunktsioon ja graafikuid võrrelda.

f(x) = x + 2
f(x) = 3x² – 2x + 4
f(x) = 5x⁴ + 6x²
f(x) = sin x
f(x) = –2 cos x
f(x) = $\frac{3}{{cos}^{2} x}$
f(x) = $\frac{1}{x}$ + 4
f(x) = 6e^x – x
f(x) = $- \frac{1}{x^{2}}$ + 2x³

Leia tehe, mille liidetav see on.

$\frac{x^{2}}{2}$		ln x
–x²		$\frac{1}{x}$
–2 sin x		C

Vastused

$\frac{x^{2}}{2}$ + 2x + C
x³ – x² + 4x + C
x⁵ + 2x³ + C
–cos x + C
–2 sin x + C
3 tan x + C
ln x + 4x + C
6e^x – 0,5x² + C
$\frac{1}{x}$ + 0,5x⁴ + C

More like this

Reegel

(F(x) + C)′ = F′(x) + 0 = f (x)

Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks on funktsioon F(x), mille tuletiseks on antud funktsioon.

Tuletiste tabel

a^x ln x
e^x
ax^a–1
0
$\frac{1}{x}$
$\frac{1}{x \ln a}$
sin x
cos x
$- \frac{1}{\sin^{2} x}$
$\frac{1}{\cos^{2} x}$

f(x)	f′(x)	f(x)	f′(x)
C		log_ax
x^a		sin x
e^x		cos x
a^x		tan x
ln x		cot x

More like this

Service provided by Star Cloud LLC

Join Opiq

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Alg­funktsioon ja tuletis­funktsioon

More like this

Pöördoperatsioonid

Mõtle

Vastus

Uuri graafikuid järgmisel slaidil.

More like this

Harjuta ja treeni

Abiks õpetamisel

Abiks õpetajale

Vastused

More like this

Reegel

Tuletiste tabel

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).

Check to help us fight spam

Opiq uses cookies

Algfunktsioon ja tuletisfunktsioon