Chapter 1.1 (Математика 12)

Производная функции (повторение)

Производной функции y = f (x) называется величина f '(x), к которой стремится отношение приращения функции к приращению аргумента ΔxΔy, когда приращение аргумента Δx → 0.

Производная функции в точке x равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х:
​f'(x)=tan α, где α – угол наклона касательной.

С помощью предела определение производной функции можно записать в виде:
​f'(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x + Δx) - f(x)Δx.

More like this
More options

Упражнения A

Задание 1. Производная функции

f\left(x\right)=4x^2+2x
f '(x) = 

f\left(x\right)=x^3-5x^2+x
f '(x) = 

f\left(x\right)=4x^2+2x+1
f '(x) = 

f\left(x\right)=x^3-5x^2+x-9
f '(x) = 

f\left(x\right)=-\frac{x^3}{9}+\frac{3x^4}{8}
f '(x) = 

f\left(x\right)=5x^{-10}+6x^{-2}+7
f '(x) = 

f\left(x\right)=3x-e^x
f '(x) = 

f\left(x\right)=xe^x
f '(x) = 

f\left(x\right)=xe^{-x}
f '(x) = 

f\left(x\right)=x\ln x
f '(x) = 

f\left(x\right)=\frac{3x+5}{x^2-3x}
f '(x) = 

f\left(x\right)=\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x^3}+\frac{4}{x}
f '(x) = 

f\left(x\right)=x-\frac{1}{x}
f '(x) = 

f\left(x\right)=\left(4x-3\right)\left(x^2-1\right)
f '(x) = 

Задание 2. Значение производной в данной точке

f\left(x\right)=2x^2+x^0
f '(x) = 
f '(3) = 

f\left(x\right)=3x^3-5x
f '(x) = 
f '(3) = 

f\left(x\right)=4x^3\cdot x^{-1}+2x
f '(x) = 
f '(3) = 

f\left(x\right)=x^2e^x
f '(x) = 
f '(3) = 

f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x-1}
f '(x) = 
f '(3) = 

f\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\cdot4x
f '(x) = 
f '(3) = 

Задание 3. Уравнение касательной

y=x^2, x_0=1

Ответ: y = 

y=3x^2+2x-1, x_0=-2

Ответ: y = 

y=x^{-1}, x_0=2

Ответ: y = 

y=x^3-2x^2+1, x_0=2

Ответ: y = 

Задание 4. Уравнение касательной

Ответ: y = 

Задание 5. Производная функция

More like this
More options

Упражнения Б

Задание 6. Производная функции

f\left(x\right)=x\sqrt{x}-x^2\sqrt{x}
f '(x) = 

f\left(x\right)=3\sqrt[3]{x}+6\sqrt{x}
f '(x) = 

f\left(x\right)=e^x-e^{-x}
f '(x) = 

f\left(x\right)=\sqrt{x}\ln x
f '(x) = 

f\left(x\right)=x^2-5\log x+4
f '(x) = 

f\left(x\right)=3^x+e^x+6
f '(x) = 

f\left(x\right)=\tan x+\sin x
f '(x) = 

f\left(x\right)=3\ln x+\sqrt{x}
f '(x) = 

f\left(x\right)=\sin x\ \cos x
f '(x) = 

f\left(x\right)=\left(\frac{x}{2}+x\right)\tan x
f '(x) = 

f\left(x\right)=\left(x+2\right)\sin x
f '(x) = 

f\left(x\right)=x^{-\frac{1}{2}}\cdot2^x
f '(x) = 

f\left(x\right)=\frac{2x}{x^2+x+1}
f '(x) = 

f\left(x\right)=\frac{x}{1-\sqrt{x}}
f '(x) = 

f\left(x\right)=\frac{e^x}{x^2}
f '(x) = 

f\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}
f '(x) = 

Задание 7. Дифференцирование функции

y=\left(1+5x\right)^2
y' = 

y=x-\sqrt{2x-1}
y' = 

y=\left(x^4-1\right)^4
y' = 

y=\left(2+\frac{1}{x}\right)^3
y' = 

y=\ln\left(1+\sqrt{x}\right)
y' = 

y=\ln\left(x+e^{-x}\right)
y' = 

y=3e^{3x}+x
y' = 

y=\sqrt{1+x^2}
y' = 

y=x\sin3x
y' = 

y=4\tan2x
y' = 

y=\cos\left(5x+\pi\right)
y' = 

y=\log\left(x^2+2x\right)
y' = 

Задание 8. Функция и значение ее производной в точке x + 1

f\left(x\right)=3x-2

Ответ: f (x + 1) = ; f '(x + 1) = 

f\left(x\right)=x^2-1

Ответ: f (x + 1) = ; f '(x + 1) = 

f\left(x\right)=x\log\left(x-1\right)

Ответ: f (x + 1) = ; f '(x + 1) = 

f\left(x\right)=x^3

Ответ: f (x + 1) = ; f '(x + 1) = 

More like this
More options
Please wait