Что нового мы изучим? Квадратные уравнения

Изучив материал этой главы, ты

будешь знать следующие понятия:
квадратный корень из числа, квадратное уравнение, полное квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение, неприведенное квадратное уравнение, дискриминант квадратного уравнения, квадратичный член, линейный член, свободный член;

будешь знать следующие свойства понятий и соотношения между понятиями:

соотношение между квадратным корнем из квадрата числа и модулем этого числа;
квадратный корень из произведения;
квадратный корень из дроби;
формулу корней квадратного уравнения;
теорему Виета;

научишься:

находить квадратный корень из числа устно или с помощью калькулятора;
находить квадратный корень из произведения и дроби;
решать квадратные уравнения и использовать их при решении текстовых задач;
пользоваться дискриминантом квадратного уравнения, а также теоремой Виета при исследовании решений этого уравнения.

Квадрат числа (повторение)

Мы знаем, что произведение двух равных множителей а · а называется квадратом числа а и обозначается короче: a · a = a². Если a = 0, то a² = 0, так как 0 · 0 = 0. Если a ≠ 0, то a² > 0, поскольку произведение двух положительных, как и произведение двух отрицательных чисел, всегда положительно.

Квадрат любого рационального числа неотрицателен.

5² = 5 · 5 = 25

(–1,4)² = (–1,4) · (–1,4) = 1,4 · 1,4 = 1,96

${(\frac{4}{7})}^{2} = \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{7} = \frac{16}{49}$

Квадрат числа всегда можно найти с помощью умножения по образцу примера 1. При изучении следующих тем полезно запомнить таблицу квадратов чисел от 1 до 20 (она приведена в конце учебника).

Квадрат числа легко найти и с помощью калькулятора. Обычно на калькуляторе есть для этого специальная клавиша x² и, например, квадрат числа 1,35 вычисляется по схеме: 1,35 x².

На экране появится ответ: 1,8225.

На некоторых калькуляторах перед нажатием клавиши возведения в квадрат нужно нажать еще на клавишу 2nd.

Если на калькуляторе нет клавиши x², то вычисление производят по схеме: 1,35 × =.

Найдем 0,24² = 0,0576 по схеме 0,24 × = или же по схеме 0,24 x².

Аналогично: (–1,7)² = 2,89 по схеме 1,7 × = или по схеме 1,7 x², –2,3² = –5,29 вычислим по схеме 2,3 × = ⁺/_– или по схеме 2,3 x² ⁺/_–.

Lisää aiheesta

Упражнения A

1,5² =

(–0,9)² =

–0,9² =

–(–16)² =

${(\frac{3}{5})}^{2}$ =

${(1 \frac{1}{3})}^{2}$ =

$- {(\frac{7}{11})}^{2}$ =

${(- \frac{4}{24})}^{2}$ =

Изучи таблицу квадратов чисел 1–20 в конце учебника.

Какими цифрами оканчиваются квадраты чисел 1–20? Какими цифрами вообще могут оканчиваться записи квадратов натуральных чисел, квадратов целых чисел? От чего зависит последняя цифра квадрата этих чисел?
Определи, какие из следующих чисел наверняка не являются квадратом целого числа. Отметь эти числа.

345 743
61 009
345 744
259 002
251 000
361 000
14 641
6477
10 201
11 236

15² =

28² =

46² =

89² =

0,7² =

1,32² =

37,4² =

123,4² =

(–2,5)² =

–0,91² =

(–41,5)² =

–308² =

${(\frac{3}{4})}^{2}$ =

${(1 \frac{3}{4})}^{2}$ =

${(- \frac{2}{5})}^{2}$ =

$- {(2 \frac{1}{2})}^{2}$ =

2,4² · 2² = =

7,5² · 4² = =

(–5,2)² · 3² = =

–4,4² · (–5)² = =

$\frac{7^{2}}{2^{2}}$ = =

$\frac{{(- 1,8)}^{2}}{6^{2}}$ = =

$\frac{{(- 2,8)}^{2}}{{(- 0,4)}^{2}}$ = =

${(\frac{5}{6})}^{2} \cdot 12^{2} - {3,5}^{2} : {(\frac{7}{4})}^{2}$ = =

3,7² · 5² – 2,5² · 2² = =

(–4,5)² · 4² – 8² · (–1,5)² = =

$\frac{{4,8}^{2}}{{(- 1,6)}^{2}} \cdot 5^{2} - \frac{{(- 1,5)}^{2}}{{0,5}^{2}}$ = =

$\frac{{(- 7,5)}^{2}}{{(- 1,5)}^{2}} - \frac{{(- 0,8)}^{2}}{{(- 0,4)}^{2}}$ = =

(ab)ⁿ = aⁿ ⋅ bⁿ

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

a² − b² = (a −b)(a + b)

$\frac{{5,4}^{2} - {3,1}^{2}}{4,25 \cdot 11,5}$ = =

$\frac{6,3 \cdot 12,1}{{18,4}^{2} - {5,8}^{2}}$ = =

$\frac{{7,4}^{2} - {6,3}^{2}}{{7,95}^{2} - {5,75}^{2}}$ = =

$\frac{{12,7}^{2} - {9,3}^{2}}{{0,71}^{2} - {0,37}^{2}}$ = =

Найди по этому правилу

25² =

55² =

1,5² =

85² =

Квадратом какого числа является число

4225?	Это квадрат числа .
2025?	Это квадрат числа .
12,25?	Это квадрат числа .

Ответ: S = см²

Ответ: S ≈ см²

Ответ: площадь закрашенной части составляет примерно% от всей площади квадрата.

Lisää aiheesta

Упражнения Б

a⁴b⁴ + 4a³b³c + 4a²b²c =
Если a = 2,4; b = 1,6; c = 2, то значение выражения приблизительно равно .
a²c² – 2a³b²c² + a⁴b⁴ =
Если a = 14,6; b = 2,6; c = 9,4, то значение выражения приблизительно равно .
(a²b + b²c)(a²b – b²c) =
Если a = 14,6; b = 0,8; c = 5,2, то значение выражения приблизительно равно .