Kursus „Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika elemente”
Põhikoolis õppisime, et
sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n jagatist,
Kuidas keerulisematel juhtudel suurusi n ja k leida, selgub, kui tutvuda mõningate mõistete ja lausetega matemaatika osast, mida nimetatakse kombinatoorikaks.
Enne kui tutvume lähemalt matemaatika selle valdkonnaga, meenutame, et hulk on matemaatikas üksteisest erinevate objektide kogum. Sellest järeldub, et hulgas korduvaid elemente ei esine.
Üldiselt uurib kombinatoorika, kuidas antud hulga elementidest moodustada uusi hulki, mis täidavad teatud tingimusi. Uue hulga elemente nimetatakse siis ühenditeks. Näiteks võib eesti tähestikust kui hulga elementidest moodustada kolmetäheliste a-tähega algavate sõnade hulga.
Järgnevalt vaatlemegi mõningaid kombinatoorika mõisteid ja lauseid.
Kui lapsele on antud võimalus valida 3 erineva auto ja 2 erineva nuku seast üks mänguasi (kas auto või nuku), siis pole kahtlust, et erinevaid valikuvõimalusi on 3 + 2 = 5. Kombinatoorikas sõnastatakse vastav reegel nn liitmislausena:
kui objekti A valikuks on n erinevat võimalust ja objekti B valikuks m erinevat võimalust ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate valikuvõimaluste arv on n + m.
Selle näite korral oli objektiks A auto ja objektiks B nukk ning n = 3 ja m = 2.
Teatud valikute arvu leidmiseks kasutatakse aga nn korrutamislauset:
kui objekti A valikuks on n erinevat võimalust ja objekti B valikuks m erinevat võimalust ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi erinevate valikuvõimaluste arv on n · m.
Kui lapse ees on jälle 3 autot ja 2 nukku, aga lapsel lubatakse võtta nii üks auto kui ka üks nukk (lühemalt auto ja nukk), on erinevaid võtmise võimalusi 3 · 2 = 6. Põhjendame, miks on see nii. Kui laps on võtnud juba ühe auto, siis kaasneb sellega 2 võimalust nuku valikuks ja nii iga auto korral. Et erinevaid autosid on kolm, siis valikuvõimalusi kokku on 2 + 2 + 2 = 3 · 2 = 6.
Kombinatoorika korrutamislauset on võimalik analoogilise mõttekäiguga üldistada kolme ja enama objekti juhule, lugedes eelnevalt näiteks kaks objekti juba valituks.
Kui pole arusaadav, kas ülesande lahendamisel kasutada liitmis- või korrutamislauset, tuleb sõnastada küsimus nii, et valikuviisi iseloomustav väljend tuleb selgelt esile. Liitmislause korral on see kas A või B (lühemalt A või B), korrutamislause korral aga nii A kui ka B (lühemalt A ja B).
Näide 1.
Lapsel on neli kaardikest numbritega 0, 1, 2, 3. Ta paneb neist juhuslikult kolm kaarti kõrvuti lauale. Kui suur on tõenäosus, et nii tekib kolmekohaline arv?
Lahendus. Tõenäosuse arvutamisel on enamikel juhtudel otstarbekas leida esmalt kõigi võimaluste arv n, sest nende seas on ka sündmuse soodsad juhud.
Niisiis leiame arvu n. Esimese kaardi lauale panekuks on 4 erinevat võimalust ja kui neist üks on laual, jääb teise kaardi valikuks 3 võimalust. Kui ka see kaart on laual, on kolmanda kaardi valikuks 2 võimalust. Et kaartide kõrvu seadmine käib põhimõttel nii I kui ka II kui ka III kaart, tuleb vastavad võimaluste arvud korrutada. Seega n = 4 · 3 · 2 = 24.
Leiame nüüd soodsate juhtude arvu k. Kuna arv ei saa alata numbriga 0, on esimese kaardi võtmiseks 3 sobivat võimalust. Teise numbri valikuks on võimalusi jälle 3, sest nüüd sobib ka 0. Kolmanda kaardi valikuks jääb 2 võimalust. Järelikult k = 3 · 3 · 2 = 18 ja tõenäosus p = 18 : 24 = 0,75.
Näide 2.
Leiame, mitu autot saaks Eestis registreerida, kui numbrimärgis oleks lubatud kas neli numbrit või neli suurtähte, kaasa arvatud võõrtähed, aga välja arvatud Õ, Ä, Ö, Ü, Š, Ž.
Korrutamislause järgi oleks saanud numbritega eristada 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 104 autot. Analoogiliselt ainult suurtähtedega 264 autot. Et kasutada võis kas ainult numbreid või ainult suurtähti, siis liitmislause põhjal on vastuseks 104 + 264 = 466 976.
Ülesanded
- kas üks õun või üks apelsin või üks pirn?
Vastus. Sel juhul on võimalik puuvilju võtta erineval viisil. - nii üks õun kui ka üks apelsin kui ka üks pirn?
Vastus. Sel juhul on võimalik puuvilju võtta erineval viisil.
- sõnas ei tohi olla korduvaid tähti?
Vastus. Siis saaks moodustada erinevat sõna. - sõnas võib olla ka korduvaid tähti?
Vastus. Siis saaks moodustada erinevat sõna. - sõnas on üks täishäälik ja üks kaashäälik?
Vastus. Siis saaks moodustada erinevat sõna.
Vastus. 5 inimest saavad teatris üksteise kõrval istuda viisil ja 7 inimest viisil.
Vastus. Kahekohalisi arve on . Nende seast ei sisalda korduvaid numbreid ja sisaldavad korduvaid numbreid. Korduvate numbritega kahekohalised arvud moodustavad % kahekohaliste arvude koguarvust.
Vastus. Neljakohaliste arvude seas on arvu, mis sisaldavad korduvaid numbreid. Need moodustavad % kõigist neljakohalistest arvudest.
Vastus. Valida on võimalik erinevat kolmekäigulist lõunat.
Vastus. Linnast A viib külla D erinevat teed.
Vastus. Seda saab teha erineval viisil.
Vastus. Sellise süsteemi korral saab registreerida autot.
Vastus. Kokku saab moodustada sellist arvu.
