Chapter 2.1 (Matemaatika kordamine GLM)

Konspekt. Avaldised ja arvuhulgad

More like this
More options

Sümboolika

Järgnev tabel võtab kokku hulkadega seotud sümbolid.

Näidetes vaadeldakse hulki A = {2; 3; 5; 11} ja B = {2; 11; 18}.

Sümbol

Selgitus
Näide​

{ }

hulga tähis: elementide kogum
{1; 3; 5; 7; 9; 11}​

X ∪ Y

hulkade ühend ehk summa
A ∪ B =​ ​{2; 3; 5; 11; 18}

X ∩ Y

hulkade ühisosa: elemendid, mis kuuluvad mõlemasse hulka
A ∩ B = {2; 11}​

X ⊂ Y

hulk X on hulga Y osahulk
{2; 11} ⊂ A
{18} ⊂ B​

X ⊄ Y

hulk X ei ole hulga Y osahulk
{7; 54; 26} ⊄ A
B ⊄ A​​

s ∈ Y

element s kuulub hulka Y
5 ∈ A
18 ∈ B​​

s ∉ X

element s ei kuulu hulka X
1 ∉ A
​3 ∉ B​

X∖{2; 3}

hulgast X on lahutatud hulk {2; 3}
​A∖{2; 3} = {5; 11}

Sümbol

Selgitus
Näide​

𝕀

irratsionaalarvude hulk 
​ 2 ; 7 3 ⊂ 𝕀

∅

​tühi hulk
​{1; 7; 16} ∩ A = ∅
​{3; 61} ∩ B = ∅

ℕ

naturaalarvude hulk
​{2; 4; 9001} ⊂ ℕ

ℤ

täisarvude hulk {–2; 0; 101} ⊂ ℤ

ℚ

ratsionaalarvude hulk
\left\{-\frac{2}{7};\ 0,33;\ 101,1\right\}\subsetℚ​

ℝ

reaalarvude hulk
\left\{\sqrt{3};\ -\frac{2}{3};\ \pi\right\}\subsetℝ​

More like this
More options

Reaalarvude piirkonnad

More like this
More options

Astendamine ja juurimine

Naturaal­arvuline astendaja

Olgu n naturaalarv. Arvu a astendamiseks arvuga n nimetatakse selle arvu n-kordset korrutamist iseendaga, st

a n = a · a · … · a ⏟ n .

Seejuures arvu a nimetatakse aluseks või astendatavaks ja arvu n nimetatakse astmenäitajaks või astendajaks.

Negatiivne täisarvuline astendaja

Olgu n naturaalarv. Arvu a ≠ 0 negatiivse astendajaga aste on vastava positiivse astendajaga astme pöördarv, st

a^{-n}=\frac{1}{a^n}.

Astendaja 0

Iga nullist erineva aluse astendamisel arvuga 0 saame vastuseks arvu 1, st 

a0 = 1

NB! 00 on määramatus.

Arvu n-es juur

Olgu n > 1 naturaalarv. Arvu a n-es juur on arv b, kui an = b. Seejuures seda arvu b tähistame sümboliga

a n  või  a 1 n .

Arvu a nimetatakse juure aluseks või juuritavaks ja arvu n nimetatakse juurenäitajaks või juurijaks.

Ratsionaal­arvuline aste

Positiivse reaalarvu a ratsionaalarvuline aste a^{\frac{m}{n}} defineeritakse võrdusega a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} Kusjuures

a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m=\left(a^m\right)^{\frac{1}{n}}.

More like this
More options

Valemid

Astendamise põhivalemid

am · an = am+n

am : an = am–n

(am)n = am·n

(a · b)m = am · bm

(a : b)m = am : bm

Kuna kõik täisarvud on ka ratsionaalarvud ja juurimine on astendamine ratsionaalarvuga \frac{1}{n}\left(n>1\right), siis kehtivad antud valemid nii täisarvuliste astendajate kui ka juurimise korral.

Abivalemid

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2)

a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3

Sümbol ± on plussmiinus. See tähendab, et valemit võib kasutada nii pluss- kui miinusmärgiga. Kui ühes avaldises on ± ja ±, siis käib plussiga kokku pluss ja miinusega miinus.

Sümbol ∓ on miinuspluss. See tähendab, et valemit võib kasutada nii pluss- kui miinusmärgiga. Kui ühes avaldises on ± ja ∓, siis käib plussiga kokku miinus ja miinusega kokku pluss.

Ruut­kolm­liikme tegurdamine

ax2 + bx + c = (x – x1)(x – x2)

x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Ruutkolmliikme tegurdamine taandub vastava ruutvõrrandi lahendamisele.

More like this
More options
Please wait