Punkti koordinaadid ruumis

Koordinaatteljed
Punkti kirjeldamine koordinaatide abil
Kahe punkti vaheline kaugus

Punkt ruumis

Kui tahame määrata punkti koordinaate kolmemõõtmelises ruumis, peame lisama kahele olemasolevale teljele veel kolmanda. Seda telge nimetatakse aplikaatteljeks ehk z-teljeks.

Punkti P z-koordinaadiks on selle ristprojektsioon z₁ z-teljel.

Seega saame koordinaadid

P(x₁; y₁; z₁) ja P´(x₁; y₁; 0), kui projekteerime punkti xy-tasandile.

Punkti asukoha kirjeldamine ruumis
P(x₁, y₁, z₁)

Märka

Tasandeid, millel asuvad kaks koordinaattelge kolmest, nimetatakse koordinaattasanditeks. Need on xy-tasand, xz-tasand ja yz-tasand.

Kui punkti z-koordinaat on null, siis asub see punkt xy-tasandil, P(x₁; y₁; 0).
Kui punkti y-koordinaat on null, siis asub see punkt xz-tasandil, P(x₁; 0; z₁).
Kui punkti x-koordinaat on null, siis asub see punkt yz-tasandil, P(0; y₁; z₁).

Kui tahame leida punkti projektsioone telgedel, peame võrdsustama kaks koordinaati nulliga. Punkti P(x₁; y₁; z₁) projektsioon x-teljel on Q′(x₁; 0; 0), projektsioon y-teljel on Q″(0; y₁; 0) ja projektsioon z-teljel Q‴(0; 0; z₁).

P(2; 3; 0) asub
P(–1; 0; 3) asub
P(0; –3; –2) asub
P(2; 0; 0) asub
P(0; –1; 0) asub
P(0; 0; 5) asub

Näide 1

Punkti asukoha kirjeldamine ruumis P(x₁, y₁, z₁)

Koordinaattasandid jaotavad ruumi kaheksaks oktandiks

Ще на цю тему

Punktide vaheline kaugus

Vaatleme kahte punkti
P(x₁; y₁; z₁) ja Q(x₂; y₂; z₂).

Leiame nendevahelise kauguse.

Projekteerime mõlemad punktid xy-tasandile,
saame punktid:
P′(x₁; y₁; 0), Q′(x₂; y₂; 0).

Nende punktide vaheline kaugus d₁ järeldub Pythagorase teoreemist (Δx ja Δy on koordinaatide muudud).

$d_{1} = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} =$
$= \sqrt{{(∆ x)}^{2} + {(∆ y)}^{2}}$

Tasandil, millel asuvad punktid P, Q, P′ ja Q', on täisnurkne kolmnurk PQR, mille kaatetiteks on d₁ ja $|∆ z| = |z_{1} - z_{2}|$ ning hüpotenuusiks otsitav kaugus d, mille leiame Pythagorase teoreemi järgi.

$d = \sqrt{{d_{1}}^{2} + {(∆ z)}^{2}} =$ $\sqrt{{(∆ x)}^{2} + {(∆ y)}^{2} + {(∆ z)}^{2}}$
ehk
$d = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + {(z_{1} - z_{2})}^{2}}$

Kahe punkti, P(x_1;y_1;z₁) ja Q(x₂_; y₂_; z₂), vaheline kaugus d.

$d = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + {(z_{1} - z_{2})}^{2}}$

Punktide projektsioonid on järgmised:

A′(–3; –1; 0), B′(1; –4; 0);
A″(–3; 0; 4), B″(1; 0; –8);
A‴(0; –1; 4), B‴(0; –4; –8).

Punktidevaheline kaugus on ruutjuur vastavate koordinaatide muutude ruutude summast.

$d = \sqrt{^{2} +^{2} +^{2}} =$
$= \sqrt{169} = 13$

A(2; 0; 0), B(5; 0; 0),
seega d_AB = .
M(2; 1; 0), N(5; –1; 0),
seega d_MN ≈ .
S(2; 1; –4), T(5; –1; 1),
seega d_ST ≈ .
O(0; 0; 0), K(–1; –1; –1),
seega d_MN ≈ .
O(0; 0; 0), L(2; 2; z), d_OL = $2 \sqrt{3}$ ,
seega z₁ = < z₂ = .
U(0; 1; z), H(1; 1; 1), d_UV = $\sqrt{2}$ ,
seega z₁ = < z₂ = .

Ще на цю тему

Harjuta ja treeni

(0; 0; 0)
(2; 0; 0)
(0, 2; 0)
(0; 0; 2)
(2; 3; 0)
(3; 2; 0)
(0; 3; 0)
(0; 3; 2)
(0; 3; 4)
(3; 4; 0)
(0; 0; 4)
(2; 0; 4)
(2; 4; 0)
(2; 3; 4)
(3; 2; 4)
(4; 2; 3)
(2; 4; 3)

$\sqrt{13}$
$\sqrt{29}$
$\sqrt{20}$
2
3
4
5

AC =	HG =
BD =	DF =
BG =	AG =

z-teljel punkt

B(0; 0; 5);
B(0; 0; 2⁵)
B(5; 0; 5)
B(–120; 0; 5)
B(2²⁰; 0; 5 )
B(2^–15; 0; 5)

xy-tasandil võrdne lõigu pikkusega

B(0; 0; 5)
B(2; 4, 5)
B(12; –15; 0)
B(–10; –1; 5)
B((–2)⁷; 8; 5)
B(90; 68; –5)

3) yz-tasandil võrdne lõigu pikkusega

B(2; 0; 0)
B(2; 4, 5)
B(2; –1; 0)
B(–10; 2; 5)
B(2; 2¹⁰; 100)
B(9; –6; 2)

A(–2; –5; 3) ja
B(3; 1; 4)?
Vastus. h = $\sqrt{}$
A(–2; –5; 3) ja
B(2; –3; 2)?
Vastus. h = $\sqrt{}$

A(–2; –5; 3) ja B(3; 1; 4)

Ще на цю тему

Punkt tasandil, punkt ruumis

P(2; –3)
$\sqrt{(1 - 2)^{2} + (1 - (- 3))^{2}}$
P(1; 2; –3 )
$\sqrt{(1 - 1)^{2} + (1 - 2)^{2} + (1 - (- 3))^{2}}$

Punkt tasandil

Punkt ruumis

Punkti P ja Q(1; 1) vaheline kaugus tasandil

Punkti P ja Q(1; 1; 1) vaheline kaugus ruumis

P(x; y; z) asub x-teljel, siis

x = 0
y = 0
z = 0

P(x; y; z) asub y-teljel, siis

x = 0
y = 0
z = 0

P(x; y; z) asub z-teljel, siis

x = 0
y = 0
z = 0

P(x; y; z) asub xy-tasandil, siis

x = 0
y = 0
z = 0

P(x; y; z) asub yz-tasandil, siis

x = 0
y = 0
z = 0

P(x; y; z) asub xz-tasandil, siis

x = 0
y = 0
z = 0

Ще на цю тему

Послугу здійснює Star Cloud OÜ

Приєднайтесь до Opiq

Прогрес в Opiq

	Роботи
	Параграф опрацьовано

Punkti koordinaadid ruumis

Ще на цю тему

Punkt ruumis

Märka

Näide 1

Ще на цю тему

Punktide vaheline kaugus

Ще на цю тему

Harjuta ja treeni

Ще на цю тему

Punkt tasandil, punkt ruumis

Ще на цю тему

Додати матеріал

Файли для завантаження

Повідомити про помилку

Сюди пишіть лише про помилки Opiq. Будь ласка, опишіть помилку якомога детальніше.

Якщо Ви погоджуєтеся поділитися інформацією про себе, повідомте свої контактні дані (e-mail, телефон).

Поставте галочку, щоб допомогти нам боротися зі спамом

Opiq використовує файли cookie