Peatükk 1.1 (GLM 2.)

Võrdus. Võrrand. Samasus

  • Põhimõisted, mida on vaja teada võrrandeid uurides
Seotud sisu
Muud tegevused

Põhimõisted

Võrdus

Võrdus koosneb kahest avaldisest, mille vahel on võrdusmärk.

Arvvõrdus

Võrdust, mis ei sisalda muutujaid, vaid ainult arve, nimetatakse arvvõrduseks.

Võrrand

Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat on otsitavad suurused ehk tundmatud.

Märka

Võrdus y – 3 = x2 – 2x

  • on lineaarvõrrand, kui tundmatuks on muutuja y ja x tähistab antud suurust.
  • on ruutvõrrand, kui tundmatuks on x ja y on antud suurus.
  • on kahe tundmatuga teise astme võrrand, kui x ja y on mõlemad tundmatud.

Näited

Võrdused 

Muutujaid sisaldav võrdus

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Arvvõrdus

Tõene võrdus

2 + 3 = 5

Väär võrdus

5 + 5 = 25

Võrrand

Lineaarvõrrand 

3(x – 5) = x + 11

Ruutvõrrand

p2 – 3p = 10

  • 10,002 - 9,9 = 0,102
  • 32 + 3 = 3 · 9
  • 16+9 = 4 + 3
  • 5 = 15 + 10
  • 108 = 3 6
  • 72 - 1 = 40 + 8
  • -1,28 + 0,072 = -1,208
  • 5 ( 20 - 3 ) = 75
  • 48 = 4 3
  • ( -5 - 7 ) 2 = 144
Seotud sisu
Muud tegevused

Võrrandi lahendamine

Võrrandi lahendamine

Võrrandi lahendamiseks nimetatakse tundmatu suuruse kõigi selliste väärtuste leidmist, mille korral võrrandiks olev võrdus on tõene (võrduse pooled on võrdsed).

Võrrandi lahend

Võrrandi lahendamise tulemusena leitud tundmatuid väärtusi nimetatakse võrrandi lahenditeks ja nende hulka lahendihulgaks.

Samasus

Võrdust, mis on tõene tundmatu mis tahes võimaliku väärtuse korral, nimetatakse samasuseks.

Näited

Võrrandi lahendid

  • Võrrandi 3(x – 5) = x + 11 lahendiks on

x = 13

  • Võrrandi p2 – 3p = 10 lahendihulk on

x ∈ {–2; 5}

  • Võrrandil 5x - 2 = 0 
    ​lahendeid ei ole, sest lugejas pole muutujat. Seega ei saa lugeja võrduda nulliga.

Samasus

Kui võrrandiks on samasus, siis on võrrandi lahendiks mis tahes reaalarv ja lahendihulgaks kogu reaalarvude hulk ℝ. 

Näiteks 

võrrandi

 2x + 62 = x + 3

teisendamise käigus koonduvad kõik tundmatud ning saadakse tõene arvvõrdus

3 = 3 või 0 = 0.

Vastus

 x ∈ ℝ

Lahendi sobivus

Selleks et kontrollida, kas antud arv on võrrandi lahendiks, tuleb võrrandis asendada muutuja selle arvuga. Arv sobib lahendiks, kui tekib tõene võrdus.

Kontrollime, kas arv 5 on järgmise võrrandi lahendiks.

(x + 3)2 = 59 + x

(5 + 3)2 = 59 + 5

64 = 64

Saime tõese võrduse, seega on arv 5 võrrandi lahend. Lahendihulka kuulub veel arv –10, kuid näiteks arv –5 selle võrrandi lahendiks ei ole.

Lahendite puudumine

Lahendame võrrandi 2(y – 2) = 2(y + 1).

Lahendus

2y – 4 = 2y + 2

2y – 2y – 4 = 2

–4 = 2 (?)

Vastus 

Võrdus –4 = 2 on väär, seega on esialgne võrrand vastuoluline ja sel puuduvad lahendid.

  • ℝ
  • ∅
  1. 2(x – 6) – 3x = 6 – x
     x ∈ 
  2. 5(2x – 3) – 4(x – 5) = 6x +5
    x ∈ 
  3. 7(x + 6) + 5(3x – 2) = 11(2x + 3) – 1
    x ∈ 
  4. 3(4x – 5) – 3(5 – 2x) = 3 + 9(2x + 3)
    x ∈ 
Seotud sisu
Muud tegevused
Palun oota