Курс „Элементы теории вероятностей и математической статистики”
Из курса основной школы мы знаем, что
вероятностью Р(А) появления события А называется отношение числа k всех благоприятствующих этому событию исходов испытания к общему числу n всех возможностей:
Чтобы выяснить, как проще всего найти величины n и k, нам нужно познакомиться с некоторыми понятиями и фактами раздела математики, называемого комбинаторикой.
Прежде, чем приступить к изучению этого раздела, вспомним, что в математике под множеством понимают совокупность некоторых отличных друг от друга объектов. Значит, в множестве не может быть повторяющихся элементов.
Комбинаторика изучает, как из данных элементов составлять множества, удовлетворяющие определенным условиям (такие множества называются также соединениями). Например, из букв русского алфавита, как из множества элементов, можно составить множество всех трехбуквенных слов, начинающихся на букву а (под «словами» понимаются любые сочетания из трех букв, т. е. ааа, ага и т. п.).
Мы познакомимся с некоторыми понятиями и фактами комбинаторики.
Пусть ребенку предложено выбрать одну игрушку из 3 мячиков и 2 кукол (т. е. либо мячик, либо куклу). Ясно, что различных возможностей для выбора у него будет 3 + 2 = 5. Подобные ситуации обобщаются в комбинаторике в виде правила сложения:
если выбор некоторого объекта A может быть осуществлен n различными способами, а выбор другого объекта B может быть осуществлен m различными способами, то число способов, которыми можно осуществить выбор либо объекта А, либо объекта В, равно сумме n + m.
В приведенном примере объектом А является мячик, объектом В – кукла, а соответствующие числа способов выбора n = 3, m = 2.
В некоторых случаях число возможностей для выбора подчиняется правилу умножения:
если выбор некоторого объекта A может быть осуществлен n различными способами, а выбор другого объекта B может быть осуществлен m различными способами, то число способов, которыми можно осуществить выбор как объекта A, так и объекта B, равно произведению n · m.
Например, если ребенок должен выбрать один из 3 мячиков и одновременно одну из 2 кукол, то всего у него 3 · 2 = 6 возможностей для выбора. Обоснуем, почему. Если ребенок уже выбрал один мячик, то для выбора одной куклы у него есть 2 возможности. И так для каждого из мячиков. Поскольку мячиков три, то всего получается 2 + 2 + 2 = 3 · 2 = 6 возможностей.
Правилу умножения нетрудно дать и общее обоснование, рассуждая аналогично в случае трех и более объектов, считая, например, что два объекта уже выбраны.
Если неясно, какое из правил – сложения или умножения – нужно взять для решения задачи, то надо сформулировать вопрос так, чтобы способ выбора объекта был бы четко указан. В случае правила сложения употребляется выражение либо А, либо В (или короче, А или В), а в правиле умножения – как А, так и В (коротко – А и В).
Пример 1.
У ребенка четыре карточки с цифрами 0, 1, 2, 3. Он раскладывает в ряд три случайно выбранные карточки. Какова вероятность того, что получится трехзначное число?
Решение. При вычислении вероятности в большинстве случаев целесообразно найти число n всех возможностей, среди которых находятся благоприятствующие возможности.
Итак, найдем число n. Для выбора первой карточки имеется 4 возможности и после того, как эта карточка оказывается на столе, для выбора второй карточки остается 3 возможности. Если и вторая карточка выбрана, то для выбора третьей карточки остается 2 возможности. Так как расположение карточек в ряд на столе можно выразить в виде как I, так и II, так и III, то числа соответствующих возможностей нужно перемножить. Таким образом, n = 4 · 3 · 2 = 24.
Найдем теперь число k возможностей, благоприятствующих событию, заключающемуся в появлении трехзначного числа. Для выбора первой цифры трехзначного числа имеется 3 возможности, так как 0 не может быть первой цифрой. После того, как первая цифра выбрана, можно выбрать любую из оставшихся 3 цифр, т. е. для выбора второй цифры имеется 3 возможности. Для выбора третьей цифры остается 2 возможности. Следовательно, k = 3 · 3 · 2 = 18 и искомая вероятность p = 18 : 24 = 0,75.
Пример 2.
Найдем, сколько автомобилей можно было бы зарегистрировать в Эстонии, если бы номер автомобиля состоял либо из четырех цифр, либо из четырех букв эстонского алфавита, за исключением букв Õ, Ä, Ö, Ü, Š, Ž.
По правилу умножения из цифр можно образовать 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 104 различных номеров. Аналогично, из 26 букв можно образовать 264 автомобильных номеров. Так как номера можно образовывать либо из цифр, либо из букв, то по правилу сложения получим, что всего можно было бы зарегистрировать 104 + 264 = 466 976 автомобилей.
Упражнения
- либо одно яблоко, либо одну сливу, либо одну грушу?
Ответ: в этом случае фрукты можно выбрать различными способами. - по одному фрукту каждого вида?
Ответ: в этом случае фрукты можно выбрать различными способами.
- буквы должны быть различными?
Ответ: в этом случае можно составить различных слов. - буквы могут быть одинаковыми?
Ответ: в этом случае можно составить различных слов. - одна из букв должна быть гласной, а другая – согласной?
Ответ: в этом случае можно составить различных слов.
Ответ: 5 человек могут разместиться способами, а 7 человек – способами.
Ответ: двузначных чисел всего . Из них не содержат повторяющихся цифр, а содержат повторяющиеся цифры. Двузначные числа с повторяющимися цифрами составляют % от числа всех двузначных чисел.
Ответ: среди всех четырехзначных чисел имеется числа, содержащих повторяющиеся цифры. Такие числа составляют % от всех четырехзначных чисел.
Ответ: можно выбрать различных обедов из трех блюд.
Ответ: из города A в поселок D можно проехать различными способами.
Ответ: это можно сделать различными способами.
Ответ: по этой системе можно зарегистрировать автомобилей.
Ответ: всего можно образовать таких чисел.
